Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓且離心率e＞

2

2

，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=4，直線l過點（0，1）且與曲線C交于不同的兩點A、B，求當(dāng)△ABO的面積取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）先化簡方程，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率不等式求出m滿足的條件，再求解．
（II）設(shè)出直線方程，及直線與橢圓的交點坐標(biāo)，再根據(jù)弦長公式及三角形面積公式，將面積S表示成K的函數(shù)，用換元法求函數(shù)S（K）的最值及取的最值的K值．

解答：解：（I）方程化為

x2

8 5-m

+

y2

8 m-2

=1，∵是焦點在x軸點上的橢圓，
∴m-2＞5-m＞0⇒

7

2

＜m＜5
∵e=

c

a

＞

2

2

⇒4c²＞2a²⇒a²＞2b²⇒m＞4，
∴m的取值范圍是4＜m＜5．
（II）當(dāng)m=4時，曲線C的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1，
①當(dāng)傾斜角為

π

2

 時，三角形不存在；
②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+1，則原點O到直線的距離d=

1

1+k2

，
 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為直線與橢圓的兩個交點，
聯(lián)立直線和橢圓方程

y=kx+1 x2+2y2=8

消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
則x1+x2=

-4k

1+k2

，x1x2=

-6

1+2k2

，|AB|=

(1+k2)[( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

S=

1

2

d|AB|=

1

2

1

(1+k2 )

(1+k2)[( -4k2 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

=

1

2

( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2

=

4k2 (1+2k2)2 + 6 1+2k2

=

16k2+6 (1+2k2)2

令t=

1

1+2k2

，t∈（0，1]；
S=

16k2+6

(1+2k2)2

=

16k2+8-2

(1+2k2)2

=

8

1+2k2

-

2

(1+2k2)2

=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時上式為最大值，最大值是6，此時k=0，直線方程為y=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的最值問題．利用函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)求最值是解本題的關(guān)鍵．