Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓且離心率，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=4，直線l過點(diǎn)（0，1）且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求當(dāng)△ABO的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先化簡方程，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率不等式求出m滿足的條件，再求解．
（II）設(shè)出直線方程，及直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)弦長公式及三角形面積公式，將面積S表示成K的函數(shù)，用換元法求函數(shù)S（K）的最值及取的最值的K值．
解答：解：（I）方程化為+=1，∵是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，
∴m-2＞5-m＞0⇒＜m＜5
∵e=＞⇒4c²＞2a²⇒a²＞2b²⇒m＞4，
∴m的取值范圍是4＜m＜5．
（II）當(dāng)m=4時(shí)，曲線C的方程為：+=1，
①當(dāng)傾斜角為 時(shí)，三角形不存在；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，則原點(diǎn)O到直線的距離d=，
 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立直線和橢圓方程消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
則，，|AB|=
S=|AB|=
===
令，t∈（0，1]；
S=-=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)上式為最大值，最大值是6，此時(shí)k=0，直線方程為y=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的最值問題．利用函數(shù)思想，構(gòu)造函數(shù)求最值是解本題的關(guān)鍵．