Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若不等式f（x）≤0在x∈[-2，+∞）有解，則實(shí)數(shù)a的最小值為1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，從而求導(dǎo)g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），從而確定g_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；從而解得．

解答 解：∵f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x≤0，
∴a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$
=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
故當(dāng)x∈[-2，1）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在[-2，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故g_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；
故答案為：1-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問(wèn)題的應(yīng)用．