Question

18．已知橢圓C的中心在坐標原點，其一個焦點為（0，$\sqrt{3}$），橢圓C上的任意一點到其兩個焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線y=kx+1與橢圓C交于A、B兩點，當OA⊥OB時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義可得a，再利用c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²即可得出．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（k²+4）x²+2kx-3=0，由OA⊥OB得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，把根與系數(shù)的關系代入即可得出．

解答 解：（1）依題意設橢圓C方程為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則由焦點為$（0，\sqrt{3}）$得 $c=\sqrt{3}$，∴a²-b²=3，
橢圓C上的任意一點到其兩個焦點的距離之和為2a=4，
∴a=2，
將a=2代入a²-b²=3得：b=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+{x^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，化為（k²+4）x²+2kx-3=0，
設A、B兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$，
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+1）•（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$=$\frac{{4-4{k^2}}}{{{k^2}+4}}$．
由OA⊥OB得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$-\frac{3}{{{k^2}+4}}$+$\frac{{4-4{k^2}}}{{{k^2}+4}}$=0，
解得$k=±\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量垂直與數(shù)量積的關系、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．