Question

18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分別是棱AB，AD，AA₁的中點(diǎn)．以△PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點(diǎn)也都在此正方體的表面上．則這個直三棱柱的體積是$\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 該直三棱柱的另一底面三個頂點(diǎn)分別是面A₁B₁C₁D₁、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，記為M、N、H，則三這個棱柱的高h(yuǎn)=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面積，代入柱體體積公式得答案．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P，Q，R分別是棱AB，AD，AA₁的中點(diǎn)，
以△PQR為底面作直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），
∴該直三棱柱的另一底面三個頂點(diǎn)分別是面A₁B₁C₁D₁、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，記為M、N、H，
則三這個棱柱的高h(yuǎn)=PH=RM=QN，
這個三棱柱的高h(yuǎn)=RM=$\sqrt{R{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
底面正三角形PQR的邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，面積為$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
∴這個直三棱柱的體積是$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{16}$．
故答案為：$\frac{3}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查三棱柱的體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．