Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于任意n∈N^*，都有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

成立，且a₂=4．
（1）求a₁，a₃的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接利用已知條件，通過n=1，直接求a₁，n=2，求解a₃的值；
（2）通過數(shù)列的前3項(xiàng)，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明猜想即可．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="qawuqk4" class="MathJye">2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

，a₂=4
當(dāng)n=1時(shí)，由2+

1

a2

＜2(

1

a1

+

1

a2

)＜2+

1

a1

，即有2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，
解得

2

3

＜a1＜

8

7

．因?yàn)閍₁為正整數(shù)，故a₁=1．  …（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，由2+

1

a3

＜6(

1

4

+

1

a3

)＜2+

1

4

，
解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．  …（4分）
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：an=n2…（5分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1°當(dāng)n=1，2，3時(shí)，由（1）知an=n2均成立．…（6分）
2°假設(shè)n=k（k≥3）成立，則ak=k2，
由條件得2+

1

ak+1

＜k(k+1)(

1

k2

+

1

ak+1

)＜2+

1

k2

，
所以

k3(k+1)

k2-k+1

＜ak+1＜

k(k2+k-1)

k-1

，…（8分）
所以(k+1)2-

k+1

k2-k+1

＜ak+1＜(k+1)2+

1

k-1

    …（9分）
因?yàn)閗≥3，0＜

k+1

k2-k+1

＜1，0＜

1

k-1

＜1，
又ak+1∈N*，所以ak+1=(k+1)2．
即n=k+1時(shí)，an=n2也成立．
由1°，2°知，對(duì)任意n∈N^*，an=n2．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．