設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R),
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求y=f(x)在[1,2]上的最小值;
(3)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:?n∈N*,ex-1
xn
n!
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,數(shù)學(xué)歸納法
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵點(diǎn)有二,一是求對(duì)導(dǎo)函數(shù),二是解不等式f'(x)>0,得到x的范圍,再兼顧函數(shù)的定義域,列出當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況表,將能很輕松的解答問題;
(2)在(1)的結(jié)論基礎(chǔ)上求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值將會(huì)有一種水到渠成的感覺,這一步一般稍有基礎(chǔ)的學(xué)生就能很順利解答;
(3)本問根據(jù)要證明的不等式:?n∈N*,ex-1
xn
n!
.構(gòu)造出函數(shù)設(shè)gn(x)=ex-1-
xn
n!
,在利用數(shù)學(xué)歸納法證明出當(dāng)n∈N*時(shí)有假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即gk(x)=ex-1-
xk
k!
>0,這還要借助于導(dǎo)數(shù)來(lái)解答.
解答: (1)解:f'(x)=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x(x+2)(ex-1-1),
令f'(x)=0,可得x1=-2,x2=0,x3=1.
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)
f'(x)-0+0-0+
f(x)極小值極大值極小值
∴函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為(-2,0)和(1,+∞),減區(qū)間為(-∞,-2)和(0,1);
(2)解:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)遞增,
則f(1)=1-
1
3
-1=-
1
3

所以f(x)在[1,2]上的最小值為-
1
3

(3)證明:設(shè)gn(x)=ex-1-
xn
n!
,
當(dāng)n=1時(shí),只需證明g1(x)=ex-1-x>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g1′(x)=ex-1-1>0,
所以g1(x)=ex-1-x在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴g1(x)>g1(1)=e0-1=0,即ex-1>x;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即gk(x)=ex-1-
xk
k!
>0,
當(dāng)n=k+1時(shí),
因?yàn)間′k+1(x)=ex-1-
(k+1)•xk
(k+1)!
=ex-1-
xk
k!
>0,
所以gk+1(x)在(1,+∞)上也是增函數(shù).
所以gk+1(x)>gk+1(1)=e0-
1
(k+1)!
>0,
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由歸納原理,知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),?n∈N*,ex-1
xn
n!
點(diǎn)評(píng):本題是一道好題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)是高考�?�,重點(diǎn)考查的內(nèi)容,本題還明確要求利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,與本例中具體函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合緊密,這也是高考考題的新穎設(shè)計(jì),在解答本題時(shí)要仔細(xì)領(lǐng)會(huì)其中的深意,將對(duì)自己的解題能力水平有很大幫助和提高.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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BF
=2
FC
,求l的方程.

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1
3
,再落下,再反彈回上次高度的
1
3
,如此反復(fù).假設(shè)球從100cm處落下,那么第10次下落的高度是多少?在第10次落地時(shí)共經(jīng)過(guò)多少路程?試用程序語(yǔ)言表示其算法.

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化簡(jiǎn)(
1
tanα
+tanα)cosα等于(  )
A、tanα
B、
1
sinα
C、cosα
D、
1
tanα

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y
與氣溫
x
近似地滿足線性關(guān)系,則其關(guān)系式是
 

氣溫/℃1813104-1
杯數(shù)2434395163

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