考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,數(shù)學(xué)歸納法
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵點(diǎn)有二,一是求對(duì)導(dǎo)函數(shù),二是解不等式f'(x)>0,得到x的范圍,再兼顧函數(shù)的定義域,列出當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況表,將能很輕松的解答問題;
(2)在(1)的結(jié)論基礎(chǔ)上求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值將會(huì)有一種水到渠成的感覺,這一步一般稍有基礎(chǔ)的學(xué)生就能很順利解答;
(3)本問根據(jù)要證明的不等式:?n∈N
*,
ex-1>.構(gòu)造出函數(shù)設(shè)g
n(x)=e
x-1-
,在利用數(shù)學(xué)歸納法證明出當(dāng)n∈N
*時(shí)有假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即g
k(x)=e
x-1-
>0,這還要借助于導(dǎo)數(shù)來(lái)解答.
解答:
(1)解:f'(x)=2xe
x-1+x
2e
x-1-x
2-2x=x(x+2)(e
x-1-1),
令f'(x)=0,可得x
1=-2,x
2=0,x
3=1.
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↓ | 極小值 | ↑ | 極大值 | ↓ | 極小值 | ↑ |
∴函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為(-2,0)和(1,+∞),減區(qū)間為(-∞,-2)和(0,1);
(2)解:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)遞增,
則f(1)=1-
-1=-
,
所以f(x)在[1,2]上的最小值為-
;
(3)證明:設(shè)g
n(x)=e
x-1-
,
當(dāng)n=1時(shí),只需證明g
1(x)=e
x-1-x>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g
1′(x)=e
x-1-1>0,
所以g
1(x)=e
x-1-x在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴g
1(x)>g
1(1)=e
0-1=0,即e
x-1>x;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即g
k(x)=e
x-1-
>0,
當(dāng)n=k+1時(shí),
因?yàn)間′
k+1(x)=e
x-1-
=e
x-1-
>0,
所以g
k+1(x)在(1,+∞)上也是增函數(shù).
所以g
k+1(x)>g
k+1(1)=e
0-
>0,
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由歸納原理,知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),?n∈N
*,
ex-1>.
點(diǎn)評(píng):本題是一道好題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)是高考�?�,重點(diǎn)考查的內(nèi)容,本題還明確要求利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,與本例中具體函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合緊密,這也是高考考題的新穎設(shè)計(jì),在解答本題時(shí)要仔細(xì)領(lǐng)會(huì)其中的深意,將對(duì)自己的解題能力水平有很大幫助和提高.