Question

8．已知$f（x）=2\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）（{ω＞0}）$，且f（x+θ）是最小正周期為2π的偶函數(shù)．   
（1）求ω，θ的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最值及此時的x值；
（3）若$|θ|＜\frac{π}{2}$，求y=cos（2x+θ）在[-π，π]的單增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出ω和θ的值；
（2）寫出f（x）的解析式，根據(jù)x的取值范圍求出f（x）的最值以及對應(yīng)x的值；
（3）討論θ的取值范圍，求出對應(yīng)g（x）的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（1）由于f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），
可得f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
再根據(jù)f（x+θ）是周期為2π的偶函數(shù)，
可得$\frac{2π}{3ω}$=2π，3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）由（1）知，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)x∈[0，π]時，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-3，2$\sqrt{3}$]，即f（x）∈[-3，2$\sqrt{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=π時，f（x）取得最小值-3；
x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值2$\sqrt{3}$；
（3）當(dāng)|θ|＜$\frac{π}{2}$時，-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
又x∈[-π，π]，∴2x∈[-2π，2π]，
∴2x+θ∈[-2π+θ，2π+θ]；
當(dāng)-$\frac{π}{2}$＜θ≤0時，-$\frac{5π}{2}$＜-2π+θ≤-2π，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-π，-π-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{-π-θ}{2}$，-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{π-θ}{2}$，π]；
當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{2}$時，2π＜2π+θ＜$\frac{5π}{2}$，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[$\frac{-π-θ}{2}$，-$\frac{θ}{2}$]，[$\frac{π-θ}{2}$，π-$\frac{θ}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，是綜合性題目．