Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1），
（1）若橢圓C的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切．求橢圓C的方程．
（2）若Rt△ABC以A（0，1）為直角頂點(diǎn)，邊AB、BC與橢圓交于兩點(diǎn)B、C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出直線AF的方程，利用直線AF與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，求出c，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出|AB|、|AC|，可得△ABC面積，換元，利用基本不等式，可求△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）圓M：（x-3）²+（y-1）²=3的圓心M（3，1），半徑為

3

，直線AF的方程為

x

c

+y=1，即x+cy-c=0．
∵直線AF與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，
∴

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
∴c²=2，
∴a²=c²+1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）不妨設(shè)x＞1的方程x=n+t（n∈N₊，0≤t＜1），則y=

1

n+t

的方程為y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 3 +y2=1

得：（1+3k²）x²+6kx=0⇒xB=-

6k

1+3k2

---------（7分）
由

y=- 1 k x+1 x2 3 +y2=1

得：（3+k²）x²-6kx=0⇒xC=

6k

3+k2

---------（8分）
從而有|AB|=

1+k

2a2k

1+a2k2

，|AC|=

1+ 1 k2

2a2k

a2+k2

，--------（10分）
于是S △ABC=

1

2

|AB||AC|=2a4

k(1+k2)

(1+a2k2)(a2+k2)

=2a4

k+ 1 k

a2(k2+ 1 k2 )+a4+1

．---------（11分）
令t=k+

1

k

≥2，有S △ABC=

2a4t

a2t2+(a2-1)2

=

2a4

a2t+ (a2-1)2 t

，---------（12分）
因?yàn)?span id="pwxghft" class="MathJye">a2t+

(a2-1)2

t

≥2a(a2-1)，t=

a2-1

a

時(shí)等號成立．
因此當(dāng)t=

a2-1

a

，(S△ABC)max=

a3

a2-1

，-------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．