Question

1．已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若?x∈R，f′（x）＞-2，則不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）的解集是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x-1）-x²（3-2lnx）-3（1-2x），
則g′（x）=f′（x-1）+4xlnx-4x+6，
設(shè)h（x）=4xlnx-4x+6，則h′（x）=4lnx，
由h′（x）＞0得x＞1，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值同時(shí)也是最小值h（1）=2，
∵f′（x-1）＞-2，h（x）≥2，
∴f′（x-1）+h（x）＞-2+2=0，
即g′（x）=f′（x-1）-x²（3-2lnx）-3（1-2x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=f（1-1）-1²（3-2ln1）-3（1-2）=0，
則不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）等價(jià)為g（x）＜0，即g（x）＜g（1），
則x＜1，
即不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）的解集是（0，1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．