Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{{a（{x-1}）}}{x+1}$．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若斜率為k的直線與y=lnx的圖象交于A、B兩點，點M（x₀，y₀）為線段AB的中點，求證：kx₀＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導，由題意可知f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a（x+1）-a（x-1）}{（x+1）^{2}}$≥0，解得a≤2；
（Ⅱ）設點A（m，lnm），B（n，lnn），kx₀＞1，即$\frac{m+n}{2}$•$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞1，根據(jù)不等式的性質，只需要證：ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$＞0，h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，由（1）可知，h（x）在[1，+∞）是單調增函數(shù)，h（$\frac{m}{n}$）＞h（1）=0，ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，即可證明不等式kx₀＞1成立．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{{a（{x-1}）}}{x+1}$（x＞0），f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a（x+1）-a（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，在（0，+∞）恒成立，
解得：a≤2；
（Ⅱ）證明：設點A（m，lnm），B（n，lnn），不妨設m＞n＞0，則$\frac{m}{n}$＞1，
要證kx₀＞1，即$\frac{m+n}{2}$•$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞1，
即證：$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$，只需證：$\frac{\frac{m}{n}-1}{\frac{m}{n}+1}$＜$\frac{ln\frac{m}{n}}{2}$，
即證ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，只需證：ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$＞0，
設h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
由（1）可知令a=2知，h（x）在[1，+∞）是單調增函數(shù)，
由$\frac{m}{n}$＞1，
∴h（$\frac{m}{n}$）＞h（1）=0，
即ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
即$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．
∴不等式kx₀＞1成立．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值，構造法求函數(shù)的導數(shù)，分析法證明不等式成立，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．