Question

16．已知函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-ea²（a≠0）．
（1）討論函數f（x）的極值；
（2）當a＞0，記函數f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導數，分類討論，確定函數的單調性，即可得出函數f（x）的極值；
（2）由（1）可得g（a）=lna+1-ea²，求導數，確定函數的單調性，即可求g（a）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-ea²，
∴f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
a≤0時，f′（x）＞0，函數單調遞增，無極值；
a＞0時，0＜x＜a，f′（x）＜0，函數單調遞減，x＞a時，f′（x）＞0，函數單調遞增，
∴x=a時，函數取得極小值f（a）=lna+1-ea²，無極大值；
（2）由（1）可得g（a）=lna+1-ea²，
∴g′（a）=$\frac{1}{a}$-2ea，
∴0＜a＜$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g′（x）＞0，函數單調遞增；a＞$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g′（x）＜0，函數單調遞減；
∴a=$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g（a）_max=-$\frac{1}{2}$ln2．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、極值、最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．