Question

定義函數f_k（x）=

alnx

xk

為f（x）的k階函數．
（1）當a=1時，求一階函數f₁（x）的單調區(qū)間；
（2）討論方程f₂（x）=1的解的個數；
（3）求證：3elnx≤x³．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,根的存在性及根的個數判斷,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）當a=1時，函數f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，求導根據導數的正負即可判斷單調區(qū)間．
（2）分情況討論，當a=0時方程無解；當a≠0時，構造函數令g（x）=

lnx

x2

（x＞0）．利用導數確定單調區(qū)間，利用g（x）的取值范圍即可得到方程f₂（x）=1的解的個數；
（3）f3(x)=

lnx

x3

（x＞0），利用導數確定單調區(qū)間，求出函數的最大值，從而證明f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即elnx≤x³．

解答： 解：（1）∵f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，
∴f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

（x＞0）．
令f′₁（x）=0，當a≠0時，x=e．
∴當a=0時，f₁（x）無單調區(qū)間，
當a＞0時，f₁（x）的單調增區(qū)間為（0，e），單調減區(qū)間為（e，+∞）．
當a＜0時，f₁（x）的單調增區(qū)間為（e，+∞），單調減區(qū)間為（0，e）．
（2）由

alnx

x2

=1，當a=0時，方程無解．當a≠0時，

lnx

x2

=

1

a

．
令g（x）=

lnx

x2

（x＞0）．
則g′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．
由g′（x）=0得x=

e

．
從而g（x）在（0，

e

）單調遞增，在（

e

，+∞）單調遞減．
∴g(x)max=g(

e

)=

1

2e

．
當x→0時，g（x）→-∞，當x→+∞時，g（x）→0．
∴當0＜

1

a

＜

1

2e

，即a＞2e時，方程有兩個不同解．
當

1

a

＞

1

2e

，即0＜a＜2e時，方程有0個解．
當

1

a

=

1

2e

，或

1

a

＜0，即a=2e或a＜0時，方程有唯一解．
綜上，當a＞2e時，方程有兩個不同解；當0＜a＜2e時，方程有0個解；當a=2e或a＜0時，方程有唯一解．
（3）特別地，當a=1時，
由f3(x)=

lnx

x3

（x＞0）得，
f′3(x)=

x2-3x2lnx

x6

=
由f′₃（x）=0得x=e

1

3

，
則f₃（x）在（0，e

1

3

）上單調遞增，在（e

1

3

，+∞）上單調遞減．
∴f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．
∴f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．

點評：本題考查導數在函數單調性中的應用，方程的解與函數的關系，屬于難題．