Question

已知函數y=f（x）對任意的x∈(-

π

2

，

π

2

)滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是（　�。�

• A、f（0）＞

  2

  f（

  π

  4

  ）
• B、f（0）＜2f（

  π

  3

  ）
• C、

  2

  f（-

  π

  3

  ）＞f(-

  π

  4

  )
• D、

  2

  f（

  π

  3

  ）＜f(

  π

  4

  )

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：根據條件構造函數g（x）=

f(x)

cosx

，求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：構造函數g（x）=

f(x)

cosx

，
則g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(cosx)′

cos2x

=

f′(x)cosx+f(x)sinx

cos2x

，
∵對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數g（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）單調遞增，
∵g（0）＜g（

π

4

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 4 )

cos π 4

，
∴f（0）＜

2

f（

π

4

），故A錯誤，
∵g（0）＜g（

π

3

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 3 )

cos π 3

，
∴f（0）＜2f（

π

3

）．故B正確．
∵g（-

π

3

）＜g（-

π

4

），即

f(- π 3 )

cos(- π 3 )

＜

f(- π 4 )

cos(- π 4 )

，
∴

2

f（-

π

3

）＜f（-

π

4

），故C錯誤．
∵g（

π

3

）＞g（

π

4

），即

f( π 3 )

cos π 3

＞

f( π 4 )

cos π 4

，
∴

2

f（

π

3

）＞f（

π

4

），故D錯誤，
故選：B．

點評：本題主要考查函數單調性的應用，利用條件構造函數是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一點的難度．