Question

數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（1）證明：{a_n+3}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=

(2n-1)．a(chǎn)n

3

，求數(shù)列{b_n}的前n項和H_n．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，可得得a_n=2a_n-1+3，從而可構(gòu)造等比數(shù)列求解a_n+3，進(jìn)而可求a_n，
（2）由（1）可得，b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1），然后利用錯位相減法求解數(shù)列的和

解答：證明：（1）當(dāng)n≥2時由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
兩式相減得S_n-S_n-1=a_n=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，
整理得a_n=2a_n-1+3     …（2分）
∴

an+3

an-1+3

=

2an-1+3+3

an-1+3

=2                          …（4分）
由S₁=2a₁-3得a₁=3，
∴a₁+3=6
∴{a_n+3}是以6為首項、2為公比的等比數(shù)列           …（5分）
∴a_n+3=6.2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3                       …（6分）
（2）解：∵b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）
設(shè)T_n=1.2¹+3.2²+5.2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ                 ①
2T_n=1.2²+3.2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹     ②
由①-②得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（7分）
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）.2ⁿ⁺¹       …（9分）
化簡得 T_n=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6．                       …（11分）
∴H_n=T_n-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6-n²        …（14分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列在求解數(shù)列的通項中的應(yīng)用，及數(shù)列的錯位相減法求和的應(yīng)用