Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)$g（x）={f^'}（x）-\frac{x}{3}$零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）令g（x）=0，得到$m=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$；設(shè)$φ（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x≥0）$，通過(guò)討論m的范圍根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性集合函數(shù)的草圖求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=e時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{e}{x}$，∴${f^'}（x）=\frac{x-e}{x^2}$
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取最小值$f（e）=lne+\frac{e}{e}=2$．
（2）∵函數(shù)$f（x）={f^'}（x）-\frac{x}{3}=\frac{x-m}{x^2}-\frac{x}{3}（x＞0）$，
令g（x）=0，得$m=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$；
設(shè)$φ（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x≥0）$，則φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在x∈（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)x=1是φ（x）的極值點(diǎn)，且是唯一極大值點(diǎn)，∴x=1是φ（x）的最大值點(diǎn)；
∴φ（x）的最大值為$φ（1）=\frac{2}{3}$，又φ（0）=0結(jié)合y=φ（x）的圖象，

可知：①當(dāng)$m＞\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)$m=\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上：當(dāng)$m＞\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)$m=\frac{2}{3}$或m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，是一道中檔題．