Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^2x-ax²+bx-1，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （e²-3，e²+1）
• B． （e²-3，+∞）
• C． （-∞，2e²+2）
• D． （2e²-6，2e²+2）

Answer 1

分析 利用f（1）=0得出a，b的關(guān)系，根據(jù)f′（x）=0有兩解可知y=2e^2x與y=2ax+a+1-e²的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍．

解答 解：∵f（1）=0，∴e²-a+b-1=0，∴b=-e²+a+1，
∴f（x）=e^2x-ax²+（-e²+a+1）x-1，
∴f′（x）=2e^2x-2ax-e²+a+1，
令f′（x）=0得2e^2x=2ax-a-1+e²，
∵函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點，
∴y=2e^2x與y=2ax-a-1+e²的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點，
作出y=2e^2x與y=2ax-a-1+e²=a（2x-1）+e²-1函數(shù)圖象，如圖所示：

若直線y=2ax-a-1+e²經(jīng)過點（1，2e²），則a=e²+1，
若直線y=2ax-a-1+e²經(jīng)過點（0，2），則a=e²-3，
∴e²-3＜a＜e²+1．
故選A．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想，分類說討論思想，中檔題．