Question

過拋物線頂點任做互相垂直的兩弦，交此拋物線于兩點，求證此兩點聯(lián)線的中點的軌跡仍為一拋物線．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，寫出OA、OB的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出A和B點的坐標，由中點坐標公式表示出中點的坐標，消去k即可得到中點的軌跡方程，從而可得軌跡．
解答：證明：設(shè)拋物線方程為y²=2px①
過拋物線頂點O任作互相垂直的二弦OA和OB，
設(shè)OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，
于是直線OA的方程為：y=kx②
直線OB的方程為：y=-x③
設(shè)點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）
由①，②可得：x₁=．
由①，③可得：x₂=2pk²，y₂=-2pk
設(shè)P（x，y）為AB的中點，由上可得：
④
⑤
由⑤可得：y²=⑥
由④可知：px=，代入⑥

即y²=px-2p²，
所以點P的軌跡為一拋物線．
點評：本題考查與中點有關(guān)的軌跡方程的求解，考查運算能力．