Question

過拋物線頂點(diǎn)任做互相垂直的兩弦，交此拋物線于兩點(diǎn)，求證此兩點(diǎn)聯(lián)線的中點(diǎn)的軌跡仍為一拋物線．

Answer 1

分析：設(shè)OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-

1

k

，寫出OA、OB的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去k即可得到中點(diǎn)的軌跡方程，從而可得軌跡．

解答：證明：設(shè)拋物線方程為y²=2px①
過拋物線頂點(diǎn)O任作互相垂直的二弦OA和OB，
設(shè)OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-

1

k

，
于是直線OA的方程為：y=kx②
直線OB的方程為：y=-

1

k

x③
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂）
由①，②可得：x₁=

2p

k2

，y1=

2p

k

．
由①，③可得：x₂=2pk²，y₂=-2pk
設(shè)P（x，y）為AB的中點(diǎn)，由上可得：
x=

x1+x2

2

=

p

k2

+pk2④
y=

y1+y2

2

=

p

k

-pk⑤
由⑤可得：y²=

p2

k2

-2p2+p2k2⑥
由④可知：px=

p2

k2

+p2k2，代入⑥
y2=(

p2

k2

+p2k2)-2p2=px-2p2
即y²=px-2p²，
所以點(diǎn)P的軌跡為一拋物線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與中點(diǎn)有關(guān)的軌跡方程的求解，考查運(yùn)算能力．