Question

3．已知橢圓C的中心在原點，它的長半軸長、短半軸長、半焦距構成等差數(shù)列，且與雙曲線C′：$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1共焦點，則橢圓C的標準方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

Answer 1

分析 設出橢圓的方程，運用等差數(shù)列的中項的性質，由雙曲線的焦點坐標，可得2b=a+3，又a²-b²=9，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程．

解答 解：設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，
由雙曲線C′：$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點為（±3，0），
可得2b=a+3，又a²-b²=9，
解得a=5，b=4，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用等差數(shù)列的中項的性質和雙曲線的焦點，考查運算能力，屬于中檔題．