Question

11．已知復(fù)數(shù)z=$\frac{i+{i}^{2}+{i}^{3}+{i}^{4}+…+{i}^{2017}}{2+i}$，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（　�。�

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)：當(dāng)n∈N時，i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，計算分子，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$，再求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．

解答 解：根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)：當(dāng)n∈N時，i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，
i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁷=（i+i²+i³+i⁴）+…+（i²⁰¹³+i²⁰¹⁴+i²⁰¹⁵+i²⁰¹⁶）+i²⁰¹⁷
=0+…0+i=i，
z=$\frac{i+{i}^{2}+{i}^{3}+{i}^{4}+…+{i}^{2017}}{2+i}$=$\frac{i}{2+i}=\frac{i（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{1+2i}{5}$，
∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$=$\frac{1-2i}{5}$．
則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{5}$，$-\frac{2}{5}$），位于第四象限．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．