Question

1．已知$\overrightarrow a$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow b$=（sin x，2cos x），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$+${|{\overrightarrow b}|^2}$+$\frac{3}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標及$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}+\frac{3}{2}$便可得出$f（x）=5\sqrt{3}sinxcosx+5co{s}^{2}x+\frac{5}{2}$，化簡后即可得出$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+5$，從而求出f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）由x的范圍即可求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}+\frac{3}{2}$
=5$\sqrt{3}$sin xcos x+2cos²x+4cos²x+sin²x+$\frac{3}{2}$
=5$\sqrt{3}$sin xcos x+5cos²x+$\frac{5}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin 2x+5•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{5}{2}$
=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5；
∴f（x）的最小正周期為T=π，對稱中心為$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，5）\;k∈Z$；
（2）f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5；
由$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴當$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{5}{2}$，10]．

點評 考查向量坐標的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)最小正周期和對稱中心的求法，二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式，熟悉正弦函數(shù)的圖象．