Question

已知向量

a

=(1，  

3

)，

b

=(-3，k)，則

a

與

b

所成角θ的取值范圍為

(

π

6

，π]

．

Answer 1

分析：在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，將向量

b

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)，觀察

a

與

b

所成角θ的變化，即可得到所求的取值范圍．

解答：解：∵向量

a

=(1，  

3

)，

b

=(-3，k)，
∴坐標(biāo)系中設(shè)A（1，

3

），B（-3，k）
可得向量

OA

=

a

=(1，  

3

)，

OB

=

b

=(-3，k)．
點(diǎn)B在直線x=-3上運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)B點(diǎn)與C（-3，

3

）重合時(shí)，

b

=(-3，

3

)
此時(shí)

a

•

b

=1×（-3）+

3

×

3

=0，所以

a

⊥

b

，θ=

π

2

②當(dāng)B點(diǎn)位于直線x=-3上，且在C點(diǎn)上方時(shí)，
θ變成個(gè)銳角，當(dāng)B沿直線x=-3向上無(wú)限遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，
θ無(wú)限接近y軸正方向與

OA

所成銳角，即無(wú)限接近

π

6

③當(dāng)B點(diǎn)位于直線x=-3上，且在C點(diǎn)下方時(shí)，
當(dāng)B在AO延長(zhǎng)線與x=-3交點(diǎn)處時(shí)，θ=π；不在這個(gè)交點(diǎn)處時(shí)，θ可以是任意鈍角．
綜上所述，θ的取值范圍是

π

6

＜θ≤π
故答案為：(

π

6

，π]

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)定向量和一個(gè)動(dòng)向量，求它們夾角的取值范圍．著重考查了平面向量的坐標(biāo)的意義和向量夾角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．