【題目】己知函數(shù)在處的切線方程為,函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)設(shè)(表示,中的最小值),若在上恰有三個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)極小值,無極大值.(3)
【解析】
(1)先求得函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)在時切線的斜率也即導(dǎo)數(shù)列方程組,解方程組求得的值,進(jìn)而求得函數(shù)的解析式.(2)先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù),對分成兩種情況,通過函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的極值.(3)先根據(jù)(1)判斷出有且僅有一個零點(diǎn),故需在上有僅兩個不等于1的零點(diǎn).根據(jù)(2)判斷出當(dāng)時,沒有三個零點(diǎn);當(dāng)時,通過零點(diǎn)存在性定理以及利用導(dǎo)數(shù)的工具作用,證得分別在,分別有個零點(diǎn),符合題意.由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:(1)
因?yàn)?/span>在處的切線方程為
所以,
解得
所以
(2)的定義域?yàn)?/span>,
①若時,則在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,無極值
②若時,則當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;
所以當(dāng)時,有極小值,無極大值.
(3)因?yàn)?/span>僅有一個零點(diǎn)1,且恒成立,
所以在上有僅兩個不等于1的零點(diǎn).
①當(dāng)時,由(2)知,在上單調(diào)遞增,
在上至多一個零點(diǎn),不合題意,舍去
②當(dāng)時,,在無零點(diǎn)
③當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)等號成立,在僅一個零點(diǎn)
④當(dāng)時,,,所以,
又圖象不間斷,在上單調(diào)遞減
故存在,使
又
下面證明,當(dāng)時,
,在上單調(diào)遞增
所以,
又圖象在上不間斷,在上單調(diào)遞增,
故存在,使
綜上可知,滿足題意的的范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心的坐標(biāo)為,且圓與直線:相切,過點(diǎn)的動直線與圓相交于,兩點(diǎn),直線與直線的交點(diǎn)為.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的最小值;
(3)問:是否是定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.
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(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?
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【題目】在一次跳繩活動中,某學(xué)校從高二年級抽取了100位同學(xué)一分鐘內(nèi)跳繩,由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖,落在區(qū)間[140,150),[150,160),[160,170]內(nèi)的頻率之比為4:2:1.
(1)求跳繩次數(shù)落在區(qū)間[150,160)內(nèi)的頻率;
(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[130,160)內(nèi)抽取6位同學(xué),將該樣本看成一個總體,從中任意抽取2位同學(xué),求這2位同學(xué)跳繩次數(shù)都在區(qū)間[130,150)內(nèi)的概率.
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【題目】已知函數(shù) 在點(diǎn)處的切線與直線平行,且函數(shù)有兩個零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值和實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)記函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,求證: (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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