【題目】己知函數(shù)處的切線方程為,函數(shù).

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)求函數(shù)的極值;

(3)設(shè)表示,中的最小值),若上恰有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)極小值,無極大值.(3)

【解析】

1)先求得函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切點坐標(biāo)和函數(shù)在時切線的斜率也即導(dǎo)數(shù)列方程組,解方程組求得的值,進而求得函數(shù)的解析式.2)先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù),對分成兩種情況,通過函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的極值.3)先根據(jù)(1)判斷出有且僅有一個零點,故需上有僅兩個不等于1的零點.根據(jù)(2)判斷出當(dāng)時,沒有三個零點;當(dāng)時,通過零點存在性定理以及利用導(dǎo)數(shù)的工具作用,證得分別在,分別有個零點,符合題意.由此求得實數(shù)的取值范圍.

解:(1)

因為處的切線方程為

所以

解得

所以

(2)的定義域為,

①若時,則上恒成立,

所以上單調(diào)遞增,無極值

②若時,則當(dāng)時,,上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,上單調(diào)遞增;

所以當(dāng)時,有極小值,無極大值.

(3)因為僅有一個零點1,且恒成立,

所以上有僅兩個不等于1的零點.

①當(dāng)時,由(2)知,上單調(diào)遞增,

上至多一個零點,不合題意,舍去

②當(dāng)時,,無零點

③當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)等號成立,僅一個零點

④當(dāng)時,,,所以,

圖象不間斷,上單調(diào)遞減

故存在,使

下面證明,當(dāng)時,

,上單調(diào)遞增

所以,

圖象在上不間斷,上單調(diào)遞增,

故存在,使

綜上可知,滿足題意的的范圍是

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