Question

【題目】已知函數(shù) 在點處的切線與直線平行，且函數(shù)有兩個零點.

（1）求實數(shù)的值和實數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個零點為，求證： （其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）， 且（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由切線求出，再由求導(dǎo)得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， ，則且；（2）設(shè)，欲證，即證，只須證，記函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得．

試題解析：

解：（1）由， 得：

由

進而得，

故當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

要使函數(shù)在有兩個零點，則

且

（用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合，可對應(yīng)給分）

（2）由（1），我們不妨設(shè)

欲證，即證

又函數(shù)在單調(diào)遞增，即證

由題設(shè)，從而只須證

記函數(shù)，

則，

記，得

因為，所以恒成立，即在上單調(diào)遞增，又

所以在上恒成立，即在單調(diào)遞減

所以當(dāng)時， ，即

從而得．

上恒成立，即在單調(diào)調(diào)遞

所以當(dāng)時， ，即

從而得．