Question

已知S（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，…，a_n組成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，設(shè)S（1）=n²，S（-1）=n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明S(

1

2

)＜3.

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，寫出S（1），S（-1）的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程求出a₁、d，進(jìn)而寫出a_n．
（2）利用錯(cuò)位相減法先求出s（

1

2

），再利用極限思想證明即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意知

na1+ n(n-1) 2 d=n2 a2-a1+a4-a3+…+an-an-1=n.

∴

a1+ n-1 2 d=n. d 2 n=n.

∴a₁=d，d=2．a(chǎn)_n=2n-1．（6分）
證明：（Ⅱ）由S(

1

2

)=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)×(

1

2

)n，①
則

1

2

S(

1

2

)=1×(

1

2

)2+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1②
①-②得，

1

2

S(

1

2

)=

1

2

+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n+1＜

3

2

（n是正偶數(shù)），
∴S(

1

2

)＜3.（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與表達(dá)式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及推理論證的能力．