Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f（x）=

5 4 sin( π 2 x)(0≤x≤1) ( 1 4 )x+1(x＞1)

，若關(guān)于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R），有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a＜1或a=

  5

  4

• B、0≤a≤1或a=

  5

  4

• C、0＜a≤1或a=

  5

  4

• D、1＜a≤

  5

  4

  或a=0

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運用偶函數(shù)的定義可得f（x）在x＜0的解析式，作出函數(shù)f（x）的圖象，由5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，解得f（x）=a或f（x）=

6

5

，結(jié)合圖象，分析有且僅有6個不同實數(shù)根的a的情況，即可得到a的范圍．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，f（x）=

5 4 sin( π 2 x)(0≤x≤1) ( 1 4 )x+1(x＞1)

，
當(dāng)x＜0時，f（x）=

- 5 4 sin( π 2 x)，-1≤x≤0 4x，x＜-1

．
作出函數(shù)f（x）的圖象如右．
由于關(guān)于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
解得f（x）=a或f（x）=

6

5

，
當(dāng)0≤x≤1時，f（x）∈[0，

5

4

]，x＞1時，f（x）∈（1，

5

4

）．
由1＜

6

5

＜

5

4

，則f（x）=

6

5

有4個實根，
由題意，只要f（x）=a有2個實根，
則由圖象可得當(dāng)0＜a≤1時，f（x）=a有2個實根，
當(dāng)a=

5

4

時，f（x）=a有2個實根．
綜上可得：0＜a≤1或a=

5

4

．
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決的常用方法．