Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，且b₁+b₂+…+b₉=90，則b₄•b₅的最大值是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

1

an+1

-

1

an

=1，從而數(shù)列{b_n}是公差為1的等差數(shù)列，由b₁+b₂+…+b₉=90，得b₁=6，從而b₄+b₅=（4+5）+（5+5）=19，由此利用基本不等式能求出b₄•b₅的最大值．

解答： 解：∵a_n-a_n+1=a_n•a_n+1（n∈N⁺），
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an

，
∴數(shù)列{b_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∵b₁+b₂+…+b₉=90，
∴9b1+

9×8

2

×1=90，解得b₁=6，
∴b_n=6+（n-1）×1=n+5，
∴b₄+b₅=（4+5）+（5+5）=19，又b_n＞0，
∴b₄•b₅≤（

b4+b5

2

）²=（

19

2

）²=

361

4

．
故答案為：

361

4

．

點評：本題考查數(shù)列中兩項積的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意等差數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式的合理運用．