Question

17．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$的對稱點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線l₁上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l₂：3x-4y+7=0，在拋物線C求一點(diǎn)P，使得P到直線l₁和l₂的距離之和最小，并求最小距離．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P（-1，2），再代入標(biāo)準(zhǔn)方程求出2p即求得方程．
（2）過點(diǎn)F（1，0）作FQ⊥l₁，交拋物線于點(diǎn)P，垂足為Q，過點(diǎn)P作PM⊥l₂，垂足為M．則|PF|=|PM|，可知：|FQ是|拋物線y²=4x上一動點(diǎn)P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O，關(guān)于直線l：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$的對稱點(diǎn)P（a，b），則有
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}•\frac{1}{2}=-1}\\{\frac{2}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}+\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2，
點(diǎn)P（a，b）在該拋物線C的準(zhǔn)線l₁上，∴-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，∴拋物線C的方程是y²=4x；
（2）如圖所示，
過點(diǎn)F（1，0）作FQ⊥l₁，交拋物線于點(diǎn)P，垂足為Q，過點(diǎn)P作PM⊥l₂，垂足為M．
則|PF|=|PM|，可知：|FQ是|拋物線y²=4x上一動點(diǎn)P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值．
最小距離|FQ|=$\frac{|3+7|}{\sqrt{9+16}}$=2．
FQ的方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-1），即x=1-$\frac{3}{4}$y，
代入y²=4x，可得y²=4-3y，
∴y=1或-4，
由圖象可得P（$\frac{1}{4}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求解，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求解．考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．