Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{e^x}$+x²-x（其中e=2.71828…）．
（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）已知函數(shù)g（x）=-aln[f（x）-x²+x]-$\frac{1}{x}$-lnx-a+1，若x≥1，則g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），代入切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$+2x-1，f（1）=$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為f'（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為$y-\frac{1}{e}=x-1$，
即ex-ey-e+1=0．
（2）由題意知函數(shù)，$g（x）=-（{a+1}）lnx+ax-\frac{1}{x}-a+1$，
所以$g'（x）=-\frac{a+1}{x}+a+\frac{1}{x^2}=\frac{{a{x^2}-（{a+1}）x+1}}{x^2}=\frac{{（{ax-1}）（{x-1}）}}{x^2}$，
①若a≤0，當(dāng)x≥1時(shí)，g'（x）≤0，
所以g（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，故g（x）≤g（1）=0；
②若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}＞1$，當(dāng)$1＜x＜\frac{1}{a}$時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{a}$時(shí)，g'（x）＞0，
所以g（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
故當(dāng)$1＜x＜\frac{1}{a}$時(shí)，g（x）＜g（1）=0；
③若a≥1，則$0＜\frac{1}{a}≤1$，當(dāng)x≥1時(shí)，g'（x）≥0，
所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以g（x）≥g（1）=0；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．