在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側棱是底面邊長的2倍，P是側棱CC1上的任一點．

（1）求證：不論P在側棱CC1上何位置，總有BD^AP；

（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P與平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）當P點在側棱CC1上何處時，AP在平面B1AC上的射影是ÐB1AC的平

分線．

 

答案：
解析：

證明：由題意可知，不論P點在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD內(nèi)射影都是AC，∵ BD^AC，∴ BE^AP．

（2）解：延長B1P和BC，設B1P∩BC=M，連結AM，則AM=平面AB1P∩平面ABCD．過B作BQ^AM于Q，連結B1Q，由于BQ是B1Q在底面ABCD內(nèi)的射影，所以B1Q^AM，故ÐB1QB就是所求二面角的平面角，依題意，知CM=2B1C1，從而BM=3BC．

所以AM+，在RtDABM中，

BQ=，在RtDB1BQ中，tanÐB1QB=，

∴ tanÐB1QB=．∴ 1+tan2ÐB1QB=得．

∴ cosÐB1QB=為所求．

（3）解：設CP=a，BC=m，則BB1=2m，C1P=2m-a，從而B1P2=m2+(2m-a)2，

=m2+4m2=5m2，AC=m．

在RtDACP中，cosÐAPC=．在DPAB1中，cosÐPAB1=

依題意，得ÐPAC=ÐPAB1．∴=．

∴ AP2+-B1P2=2AC×AB1．即a2+2m2+5m2-[m2+(2m-a)2]=m，

∴ ．故P距C點的距離是側棱的．

另解：如圖，建立空間直角坐標系．

設CP=a，CC1=6，∴ B1(0，3，6)，C(-3，3，0)，P(-3，3，a)．

∴ =(0，3，6)，=(-3，3，0)，=(-3，3，a)．

依題意，得，

即 3+2a=，亦即a=．

故P距C點的距離是側棱的．

 


練習冊系列答案
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