Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長(zhǎng)AA₁=2，AB=1，E是AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于O，連接OE，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，證明OE是△AA₁C的中位線，然后根據(jù)直線與平面平行的判斷定理進(jìn)行證明；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OE，垂足為H，可得A₁A⊥BD，然后再證BD⊥平面A₁AC，推出AH⊥平面BDE，在Rt△OAE中，進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O，連接OE（1分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)（2分）
又E是AA₁的中點(diǎn)
∴OE是△AA₁C的中位線
∴OE∥A₁C（4分）
∵OE?平面BDE，A₁C?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE（6分）

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OE，垂足為H（7分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，A₁A⊥平面ABCD（8分）
∴A₁A⊥BD（9分）
又∵A₁A∩AC=A
∴BD⊥平面A₁AC
∴BD⊥AH（10分）
又AH⊥OE，BD∩OE=E
∴AH⊥平面BDE（11分）
在Rt△OAE中，AE=

1

2

A1A=1，OA=

2

2

AB=

2

2

，
OE=

AE2+OA2

=

6

2

AH=

AE•OA

OE

=

3

3

．
即點(diǎn)A到平面BDE的距離是

3

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查直線與平面平行的性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用，此題計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)要仔細(xì)，此題是道好題，也是高考常考的題型．