Question

12．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過分公比q是否為1兩種情況討論，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知分兩種情況討論，進(jìn)而求出{b_n}的通項(xiàng)公式，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）①當(dāng)公比q=1時，
∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴a_n=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)q≠1時，
∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴a₁q²=$\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{9}{2}$，
解得：a₁=6，q=-$\frac{1}{2}$，
此時a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
綜上所述，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{3}{2}$或a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）①當(dāng)a_n=$\frac{3}{2}$時，b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=2，
故T_n=2n；
②當(dāng)a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$時，b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=2n，
此時T_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
綜上所述，T_n=2n或T_n=n（n+1）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．