Question

設(shè)關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α、β（α＜β），函數(shù)f(x)=

4x-a

x2+1

．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）證明f（x）是[α，β]上的增函數(shù)；
（3）當(dāng)α為何值時(shí)，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

分析：（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出α與β的關(guān)系，然后將f（α）與f（β）中的α與β消去即可；
（2）設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當(dāng)a＜x＜β時(shí)，Φ（x）＜0，利用f'（x）的符號(hào)進(jìn)行判定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）根據(jù)（2）可知函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，則當(dāng)f（β）=-f（α）=2時(shí)，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）f(α)=

-8

a2+16-a

，f(β)=

8

a2+16+a

，f(α)•f(β)=-4．
（2）設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當(dāng)a＜x＜β時(shí)，Φ（x）＜0.f′(x)=

(4x-a)′(x2+1)-(4x-a)(x2+1)′

(x2+1)2

=

4(x2+1)-2x(4x-a)

(x2+1)2

=-

2(2x2-ax+2)

(x2+1)2

=-

2Φ(x)

(x2+1)2

＞0
∴函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴當(dāng)且僅當(dāng)f（β）=-f（α）=2時(shí)，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此時(shí)a=0，f（β）=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判定和函數(shù)最值等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．