Question

某工廠用72萬元錢購買了一臺新機器，每年的保險費、油費合計為7.5萬元，另外，維修保養(yǎng)費用逐年遞增，第一年為2萬元，以后每年增加1萬元．
（I）設前n年的維修保養(yǎng)總費用為S_n萬元，求S_n的表達式；
（Ⅱ）截止到第n年，這臺機器的總費用是多少？
（Ⅲ）這臺機器的最佳使用年限（年平均費用最�。┦嵌嗌�？

Answer 1

分析：（I）由題知，維修保養(yǎng)費用逐年遞增，第一年為2萬元，以后每年增加1萬元，可得前n年每年的保養(yǎng)費是一個首項為2，公差為1的等差數(shù)列，由求和公式求和即可；
（II）總費用包括購買費用及每年的保險費、油費合計為7.5萬元及每年的保養(yǎng)費用，三者相加即可得到總費用；
（III）得出各年平均費用的表達式，計算其取得最小值時的n即可得出答案

解答：解：（I）由題意，每年的保養(yǎng)費是一個首項為2，公差為1的等差數(shù)列，可得Sn=2+3+…+(n+1)=

n(n+3)

2

；（2分）
（II）總費用為72+7.5n+

n2+3n

2

=

n2+18n+144

2

（萬元）
答：截止到第n年，這臺機器的總費用是

n2+18n+144

2

萬元；（4分）
（III）設這臺機器前n年的年平均費用為f（n）萬元，f(n)=

n2+18n+144

2n

=(

n

2

+

72

n

)+9≥21，當且僅當

n

2

=

72

n

時等號成立．
即n=12時等號成立．
答：這臺機器的最佳使用年限是12年．（8分）

點評：本題考查函數(shù)最值的應用及等差數(shù)列的應用，此類題通過審題理解其中的關系是解答的關鍵，此類題綜合性較強，注意轉(zhuǎn)化思想的運用