Question

已知函數(shù)f_n（x）=xⁿ（1-x）²在（

1

4

，1）上的最大值為a_n（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：對任何正整數(shù)n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+2)2

成立；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：對任意正整數(shù)n，都有S_n＜

13

27

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=（n+2）x^n-1（x-1）（x-

n

n+2

），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）當(dāng)n≥2時，欲證

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，只需證明（1+

2

n

）ⁿ≥4，由此能證明當(dāng)n≥2時，都有an≤

1

(n+2)2

成立． 
（3）S_n＜

4

27

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

4

27

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…(

1

n+1

-

1

n+2

)，由此能證明任意正整數(shù)n，都有Sn＜

13

27

成立．

解答： 解：（1）∵f_n（x）=xⁿ（1-x）²，
∴fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)
=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]
=（n+2）x^n-1（x-1）（x-

n

n+2

），…（2分）
當(dāng)x∈（

1

4

，1）時，由fn′(x)=0，知：x=

n

n+2

，…（3分）
∵n≥1，∴

n

n+2

∈(

1

4

，1)，…（4分）
∵x∈（

1

4

，

n

n+2

）時，fn′(x)＞0；x∈（

n

n+2

，1）時，fn′（x）＜0；
∴f（x）在（

1

4

，

n

n+2

）上單調(diào)遞增，在（

n

n+2

，1）上單調(diào)遞減
∴fn(x) 在x=

n

n+2

處取得最大值，
即an=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

．…（6分）
（2）當(dāng)n≥2時，欲證

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，
只需證明（1+

2

n

）ⁿ≥4，…（7分）
∵（1+

2

n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)+

C

2 n

(

2

n

)2+…+

C

n n

•(

2

n

)n
≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥1+2+1=4，…（9分）
∴當(dāng)n≥2時，都有an≤

1

(n+2)2

成立． …（10分）
（3）S_n=a₁+a₂+…+a_n
＜

4

27

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+2)2

＜

4

27

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

4

27

+

1

3

-

1

n+2

＜

13

27

．
∴對任意正整數(shù)n，都有Sn＜

13

27

成立．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．