Question

【題目】對于直線與拋物線，若與有且只有一個公共點且與的對稱軸不平行（或重合），則稱與相切，直線叫做拋物線的切線．

（1）已知是拋物線上一點，求證：過點的的切線的斜率；

（2）已知為軸下方一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．求證：成等差數(shù)列；

（3）如圖所示，、是拋物線上異于坐標(biāo)原點的兩個不同的點，過點的的切線分別是，直線交于點，且與軸分別交于點．設(shè)為方程的兩個實根，表示實數(shù)中較大的值．求證：“點在線段上”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）將拋物線方程變?yōu)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證得結(jié)論；

（2）利用點斜式寫出直線，聯(lián)立可求得交點橫坐標(biāo)為，即，證得結(jié)論；

（3）首先聯(lián)立方程，可求得點坐標(biāo)，進(jìn)而得到的值；

①當(dāng)在上時，由可求得，進(jìn)而必要性可證得；

②當(dāng)，可得，進(jìn)而，充分性可證得；

由此可總結(jié)出結(jié)論.

（1）將拋物線方程變?yōu)椋?/span>

當(dāng)時，，即切線的斜率

（2）由（1）知，直線；直線

由得：

又，

為直線交點

成等差數(shù)列

（3）在拋物線上

由（1）知：

同理可得：

聯(lián)立，解得：，，即

方程兩根為，

必要性：當(dāng)點在線段上時，

即

充分性：當(dāng)時，

，即

在線段上

綜上所述：“點在線段上”的充要條件是“”