Question

在正數(shù)數(shù)列{a_n}中，S_n為a_n的前n項和，若點（a_n，S_n）在函數(shù)y=

c2-x

c-1

的圖象上，其中c為正常數(shù)，且c≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n2 nan+2

2n+1

，當c=2的時候，是否存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，請說明理由；
（3）設數(shù)列{c_n}滿足c_n=

n，n=2k-1 2an，n=2k

，k∈N*，當c=

3

3

時候，在數(shù)列{c_n}中，是否存在連續(xù)的三項c_r，c_r+1，c_r+2，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用點（a_n，S_n）在函數(shù)y=

c2-x

c-1

的圖象上，可得S_n=

c2-an

c-1

，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求出a₁=c，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=

n2 nan+2

2n+1

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，化簡，即可求出所有的m、n的值；
（3）分類討論，若c_r=c_2k，不成立；若c_r=c_2k-1，可得k=3^k-1，令T_k=

k

3k-1

，則T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵點（a_n，S_n）在函數(shù)y=

c2-x

c-1

的圖象上，
∴S_n=

c2-an

c-1

，
n≥2時，S_n-S_n-1=a_n=

an-1-an

c-1

，
∴（c-1）a_n=a_n-1-a_n，
∴

an

an-1

=

1

c

∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列                                   2分
將（a₁，S₁）代入y=

c2-x

c-1

得，a₁=c                      3分
故a_n=(

1

c

)n-2                                          4分
（2）b_n=

n2 nan+2

2n+1

=

n

2n+1

．
若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

又m為正整數(shù)且m＞1，∴m=2，此時n=12
∴當m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列          10分
（3）若c_r=c_2k，則由c_r+c_r+2=2c_r+1，得2•3^k-1+2•3^k=2（2k+1），
化簡得4•3^k-1=2k+1，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立．              12分
若c_r=c_2k-1，則由c_r+c_r+2=2c_r+1，得（2k-1）+（2k+1）=2•2•3^k-1
化簡得k=3^k-1．                                                     14分
令T_k=

k

3k-1

，則T_k+1-T_k=

1-2k

3k

＜0                 
因此，1=T₁＞T₂＞T₃＞…，
故只有T₁=1，此時r=2×1-1=1，
綜上，在數(shù)列{c_n}中，僅存在連續(xù)的三項c_r，c_r+1，c_r+2，按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)r=1.16分

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查等比數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的通項，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，有難度．