Processing math: 100%
13.已知函數(shù)f(x)=a(x2-1)-lnx.
(1)若y=f(x)在x=2處取得極小值,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)n≥2時(shí),1ln2+1ln3++1lnn3n2n22n2+2n

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(2)=0,求出a的值,檢驗(yàn)即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合題意確定a的范圍即可;
(3)令a=12,∴當(dāng)x=1時(shí),1lnx2x21,分別取x=2,3,4,…,n,累加即可.

解答 解:(1)∵f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),fx=2ax1x,
∵f(x)在x=2處取得極小值,∴f'(2)=0,即a=18,
此時(shí),經(jīng)驗(yàn)證x=2是f(x)的極小值點(diǎn),故a=18
(2)∵fx=2ax1x,
①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x>1時(shí),f(x)<f(1)=0矛盾.
②當(dāng)a>0時(shí),fx=2ax21x
令f'(x)>0,得x12a;f'(x)<0,得0x12a
(i)當(dāng)12a1,即0a12時(shí),
x112a時(shí),f'(x)<0,即f(x)遞減,
∴f(x)<f(1)=0矛盾.
(ii)當(dāng)12a1,即a12時(shí),
x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)>0,即f(x)遞增,
∴f(x)≥f(1)=0滿足題意.
綜上,a12
(3)證明:由(2)知令a=12,
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),12x21lnx0,(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”)
∴當(dāng)x=1時(shí),1lnx2x21
即當(dāng)x=2,3,4,…,n,有:
1ln2+1ln3++1lnn21221+1321++1n21
=211×3+12×4+13×5++1n1n+1
=113+1214+1315++1n11n+1
=3n2n22n2+2n

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.若焦點(diǎn)在x軸的雙曲線x2a2-y24=1(a>0),一條漸近線為y=2x,則a的值為( �。�
A.1B.2C.4D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.在三角形ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的(  )
A.充分不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.以上都不是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和分別為Sn,S5=2,S10=6,則a16+a17+a18+a19+a20=( �。�
A.24B.16C.12D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G:x2=2py(p>0)相交于B、C,當(dāng)直線l的斜率是12時(shí),AC=14AB
(Ⅰ)求拋物線G的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)1222,則logf42=1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.某人玩擲骰子(骰子是一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體,它的各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)字1、2、3、4、5、6)的游戲,每輪擲兩次.第n輪擲出的點(diǎn)數(shù)依次為xn,yn.如果2xn+2yn1n=12,則認(rèn)為第n輪游戲過關(guān),游戲過關(guān)后,則游戲終止.如果某輪游戲不過關(guān),則下一輪繼續(xù)進(jìn)行,直至過關(guān)后終止.
(Ⅰ)求游戲第一輪過關(guān)的概率;
(Ⅱ)如果游戲進(jìn)行到第3輪,第3輪后不管游戲是否過關(guān),都終止游戲.寫出投擲輪數(shù)X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.已知傾斜角為α的直線l與直線m:x-2y+3=0垂直,則cos2α=-35

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.已知向量ax2=21c=3x,若a,則ac=20.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案