分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(2)=0,求出a的值,檢驗(yàn)即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合題意確定a的范圍即可;
(3)令a=12,∴當(dāng)x=1時(shí),1lnx>2x2−1,分別取x=2,3,4,…,n,累加即可.
解答 解:(1)∵f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=2ax−1x,
∵f(x)在x=2處取得極小值,∴f'(2)=0,即a=18,
此時(shí),經(jīng)驗(yàn)證x=2是f(x)的極小值點(diǎn),故a=18.
(2)∵f′(x)=2ax−1x,
①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x>1時(shí),f(x)<f(1)=0矛盾.
②當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=2ax2−1x,
令f'(x)>0,得x>1√2a;f'(x)<0,得0<x<1√2a.
(i)當(dāng)1√2a>1,即0<a<12時(shí),
x∈(1,1√2a)時(shí),f'(x)<0,即f(x)遞減,
∴f(x)<f(1)=0矛盾.
(ii)當(dāng)1√2a≤1,即a≥12時(shí),
x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)>0,即f(x)遞增,
∴f(x)≥f(1)=0滿足題意.
綜上,a≥12.
(3)證明:由(2)知令a=12,
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),12(x2−1)−lnx≥0,(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”)
∴當(dāng)x=1時(shí),1lnx>2x2−1.
即當(dāng)x=2,3,4,…,n,有:
1ln2+1ln3+…+1lnn>2(122−1+132−1+…+1n2−1)
=2(11×3+12×4+13×5+…+1(n−1)(n+1))
=(1−13)+(12−14)+(13−15)+…+(1n−1−1n+1)
=3n2−n−22n2+2n.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 4 | D. | 8 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 以上都不是 |
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A. | 24 | B. | 16 | C. | 12 | D. | 8 |
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