Question

（本題滿分12分）如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直線B₁C與平面ABC成30°角，求二面角B-B₁C-A的正弦值.

Answer 1

解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC⊥平面BCC₁B₁，過(guò)A作AN⊥平面BCC₁B₁，垂足為N，則AN⊥平面BCC₁B₁（AN即為我們要找的垂線）,在平面BCB₁內(nèi)過(guò)N作NQ⊥棱B₁C，垂足為Q，連接QA，則∠NQA即為二面角的平面角.
∵AB₁在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CA⊥AB，
∴CA⊥B₁A.AB=BB₁=1，得AB₁=.
∵直線B₁C與平面ABC成30°角，∴∠B₁CB=30°，B₁C=2.
在Rt△B₁AC中，由勾股定理,得AC=.∴AQ=1.
在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=.
sin∠AQN==,
即二面角BB₁CA的正弦值為.

略