Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，a]，a＞-2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若a＜1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：f（a）＞

13

e2

；
（3）對于定義域為D的函數(shù)y=g（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，使得x∈[m，n]時，y=g（x）的值域是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)y=g（x）的“保值區(qū)間”．設(shè)h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），問函數(shù)y=h（x）是否存在“保值區(qū)間”？若存在，請求出一個“保值區(qū)間”； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：綜合題,新定義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意求證f（t）＞13e^-2，可解出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上的最小值，由此最小值與13e^-2作比較即可證明此不等式；
（3）函數(shù)y=h（x）存在“保值區(qū)間”[m．n]等價于

n＞m＞1 h(m)=m h(n)=n

，等價于關(guān)于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

解答： （1）解：f（x）=（x²-3x+3）e^x，f'（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，x∈[-2，a]，a＞-2

x	（-∞，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

…（2分）
由表知道：
①-2＜a≤0時，x∈（-2，a）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，a）；                   …（3分）
②0＜a＜1時，x∈（-2，0）時，f′（x）＞0，x∈（0，a）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-2，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；…（4分）
（2）證明：f（a）=（a²-3a+3）e^a，f′（a）=a（a-1）e^a，a＞-2，

a	（-2，0）	（0，1）	（1，+∞）
f′（a）	+	-	+

從而函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上有唯一的極小值f（1）=e …（6分）
但f（-2）=13e^-2＜e，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上的最小值為f（-2）=13e^-2，…（8分）
因為t＞-2，所以f（t）＞f（-2）=13e^-2         …（8分）
（3）解：h（x）=f（x）+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x，x∈（1，+∞），h′（x）=（x²-1）e^x，
∴x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，…（9分）
函數(shù)y=h（x）存在“保值區(qū)間”[m．n]等價于

n＞m＞1 h(m)=m h(n)=n

等價于關(guān)于x的方程h（x）=x在（1，+∞）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，…（11分）
令H（x）=h（x）-x，
則H′（x）=（x²-1）e^x-1，H″（x）=（x²+2x-1）e^x，
∵x∈（1，+∞），∴H″（x）＞0，
∴H′（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵H′（1）=-1＜0，H′（2）＞0，且y=H′（x）在[1，2]圖象不間斷，
∴?x₀∈（1，2）使得H′（x₀）=0，…（13分）
∴函數(shù)y=H（x）在（1，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
∵H′（1）=-1＜，∴x∈（1，x₀]，H（x）＜0，
∴函數(shù)y=H（x）在（1，+∞）至多有一個零點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程h（x）=x在（1，+∞）至多有一個實(shí)數(shù)根，…（15分）
∴函數(shù)y=h（x）是不存在“保值區(qū)間”．                  …（16分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值，這是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用．