Question

已知函數(shù)
（1）若x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點，求實數(shù)a的值
（2）若x₀是函數(shù)f（x）的一個零點，且x₀∈（b，b+1），其中b∈N，則求b的值
（3）若當x≥1時，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）…（2分）
∵y在x=e處取得極值，∴y'_x=e=0即解得
經(jīng)檢驗符合題意，∴…（4分）
（2）∵，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（5分）
又∴
且
由二分法可得…（7分）
又∵
∴b=0…（8分）
（3）設，，∵x≥1，∴
（ⅰ）若c≤2，當x≥1時，恒成立
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥1時，g（x）≥g（1），即．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
或且x₁＜1＜x₂
此時若x∈（1，x₂），則g'（x）＜0，
故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)
所以x∈（1，x₂）時，g（x）＜g（1）=0即
與題設矛盾
綜上，滿足條件的c的取值范圍是（-∞，2]…（12分）
分析：（1）由已知函數(shù)，y=f（x）-2ex-ax，我們易求出函數(shù)y=f（x）-2ex-ax的解析式，又由進而求出其導函數(shù)的解析式，又由x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點，故y'_x=e=0，由此構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出實數(shù)a的值
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，我們易得函數(shù)為增函數(shù)，若x₀是函數(shù)f（x）的一個零點，利用二分法我們易得在區(qū)間（，1）上存在函數(shù)唯一的零點，則（，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）構(gòu)造函數(shù)，則問題可轉(zhuǎn)化為當x≥1時函數(shù)恒成立問題，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求出c的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的零點，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)在某點取得極值的條件構(gòu)造方程y'_x=e=0，（2）的關(guān)鍵是用二分法求出在區(qū)間（，1）上存在函數(shù)唯一的零點，（3）的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題．