已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA（O為原點(diǎn)）交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證：y1y2是一個(gè)定值；
（2）求證：直線MB平行于x軸．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)直線AB的方程是：x=my+1代入y2=4x整理得：y2-4my-4=0，利用韋達(dá)定理，可得y1y2是一個(gè)定值；
（2）設(shè)A（
y12
4
，y1），M（-1，yM），由A、M、O三點(diǎn)共線有
y1
y12
4
=
yM
-1
，即y1yM=-4，結(jié)合y1y2=-4，即可證明直線MB平行于x軸．
解答： 證明：（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F（1，0），（1分）
設(shè)直線AB的方程是：x=my+1
代入y2=4x整理得：y2-4my-4=0，（4分）
顯然△=16m2+16＞0
而A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1y2=-4．（6分）
（2）據(jù)題意設(shè)A（
y12
4
，y1），M（-1，yM），（8分）
由A、M、O三點(diǎn)共線有
y1
y12
4
=
yM
-1
?
∴y1yM=-4，（10分）
又y1y2=-4
則y2=yM，故直線MB平行于x軸．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則下列命題：
①過點(diǎn)P有且只有一條直線與l，m都平行；
②過點(diǎn)P有且只有一條直線與l，m都垂直；
③過點(diǎn)P有且只有一條直線與l，m都相交；
④過點(diǎn)P有且只有一條直線與l，m都異面．
其中假命題的個(gè)數(shù)為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點(diǎn)，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1=
2
3
，且-
3
a2
，
1
a3
，
1
a4
成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn•log3（1-Sn+1）=1，求適合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
25
51
的正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-
3
，0)，B(
3
，0)連線的斜率的積為定值-
1
3
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）求橢圓C的離心率； 
（2）若過A、Q、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1（a＞1）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線l經(jīng)過點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為
π
4
，求|AB|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的方程為y2=2px（p＞0）．
（1）當(dāng)p=4時(shí)，求該拋物線上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；
（2）已知該拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t（t＞0），過P作兩條直線分別交拋物線與A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求證：
y1+y2
t
為定值；并用常數(shù)p、t表示直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P（x，y）滿足條件
0≤x≤1
0≤y≤1
y-x≥
1
2
則P點(diǎn)坐標(biāo)為
 
時(shí)，z=4-2x+y取最大值
 
．

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