已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-
3
，0)，B(
3
，0)連線的斜率的積為定值-
1
3
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由已知條件推導(dǎo)出
y
x+
3
•
y
x-
3
=-
1
3
，由此能求出曲線的方程．
（2）假若存在這樣的k值，由
y=kx+2
x2+3y2-3=0
，得（1+3k2）x2+12kx+9=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出存在k=
7
6
，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．
解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-
3
，0)，B(
3
，0)連線的斜率的積為定值-
1
3
，
∴
y
x+
3
•
y
x-
3
=-
1
3
，x≠±
3
，
整理，得：x2+3y2=3，x≠±
3
，
∴所求曲線的方程為
x2
3
+y2=1．(x≠±
3
)
（2）假若存在這樣的k值，
由
y=kx+2
x2+3y2-3=0
，得（1+3k2）x2+12kx+9=0．
∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0．①
設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），
則
x1+x2=-
12k
1+3k2
x1•x2=
9
1+3k2
，②
而y1•y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4．
要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），
當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE，
∴
y1
x1+1
•
y2
x2+1
=-1，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0．
∴（k2+1）x1x2+2（k+1）（x1+x2）+5=0．③
將②式代入③整理，解得k=
7
6
．
經(jīng)驗(yàn)證，k=
7
6
，使①成立．
綜上可知，存在k=
7
6
，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a+b=1（其中a＞0，b＞0），則
1
a
+
2
b
的最小值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
b2
=1(b2＜12)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比為
3
：
2
，圓O的圓心在原點(diǎn)O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）是否存在同時(shí)滿足下列條件的直線l：
    ①與圓O相切與點(diǎn)M（M位于第一象限）；
    ②與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使得
OA
•
OB
=2．若存在，求出此直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中斜率為k的直線l1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C1的方程；
（2）試用k表示△ABD的面積S；
（3）求△ABD面積S取最大值時(shí)直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(cos(θ-
π
4
)， 1)，
b
=（3，0），其中θ∈(
π
2
， 
5π
4
)，若
a
•
b
=1．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA（O為原點(diǎn)）交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證：y1y2是一個(gè)定值；
（2）求證：直線MB平行于x軸．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)z=2y-2x+4，式中x，y滿足條件
0≤x≤1
0≤y≤2
2y-x≥1
，求z的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，  
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C為直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O∉直線l，實(shí)數(shù)x滿足關(guān)系式x2
OA
+2x
OB
+
OC
=
0
，有下列命題：
①
OB
2-
OC
•
OA
≥0；        
②
OB
2-
OC
•
OA
＜0；
③x的值有且只有一個(gè)；      
④x的值有兩個(gè)；
⑤點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．
則正確的命題是
 
．（寫出所有正確命題的編號(hào)）

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