Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，
（Ⅰ）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}是否存在最大值項(xiàng)，若存在，說(shuō)明是第幾項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|，試比較的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由①，得②，
②-①得，a_n+1=2a_n+1-2a_n+2ⁿ，即，
則===-1，為常數(shù)，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為-1，
由S₁=2a₁+2解得a₁=-2，
所以=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，==（2011-n）•2^n-1，
則，當(dāng)n=2011時(shí)，b_n=0，
當(dāng)n＞2011時(shí)，b_n＜0，令=≥1，得n＞2011，所以b_n＞b_n+1，即b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
當(dāng)n≤2010時(shí)，b_n＞0，令=≥1，解得n≤2009，
所以n≤2009時(shí)，b_n+1≥b_n，所以0＜b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₂₀₀₉=b₂₀₁₀，
綜上，b₁＜b₂＜b₃＜…b₂₀₁₂＞b₂₀₁₃＞…，
所以數(shù)列{b_n}存在最大值項(xiàng)，為第2009項(xiàng)或2010項(xiàng)；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，=2[-（n+1）•2^n-1]+2ⁿ=-n•2ⁿ，
所以|S_n|=n•2ⁿ，
則T_n=|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹==（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
所以==（n-2）•2^n-1+1，
又==（n-2）•2^n-1，
所以．
分析：（Ⅰ）由，得，兩式相減可得數(shù)列遞推式，借助該遞推式可計(jì)算為常數(shù)，由等差數(shù)列定義即可證明為等差數(shù)列，從而可求得，進(jìn)而求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出b_n，據(jù)其通項(xiàng)可判斷數(shù)列{b_n}各項(xiàng)符號(hào)，通過(guò)作商可判斷數(shù)列的單調(diào)性，由單調(diào)性即可判斷其最大值項(xiàng)；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求得S_n，從而得|S_n|，由錯(cuò)位相減法可求出T_n，進(jìn)而得到，由（Ⅰ）易求，兩者大小關(guān)系容易判斷；
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、數(shù)列求和，考查錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．