分析 原不等式可等價(jià)為:arctana-a≤arctanb-b,只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=arctanx-x,再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.
解答 證明:∵正切函數(shù)y=tanx在(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$)上單調(diào)遞增,
∴其反函數(shù)y=arctanx在R上也單調(diào)遞增,
不妨設(shè),a≥b,原不等式可化為:arctana-arctanb≤a-b,
因此,原不等式等價(jià)為:arctana-a≤arctanb-b,-----①
要證不等式①成立,只需構(gòu)造函數(shù),f(x)=arctanx-x,x∈R,
f'(x)=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立,
所以,f(x)在R上單調(diào)遞減,
由于a≥b,所以f(a)≤f(b),
即arctana-a≤arctanb-b,
所以,|arctana-arctanb|≤|a-b|.
說(shuō)明:本題也可以利用“拉格朗日中值定理”證明.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,涉及正切,反正切函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,以及函數(shù)單調(diào)性的確定,屬于中檔題.
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如圖,在底面是直角梯形的四棱錐中,,平面,,梯形上底
(1)求證:平面;
(2)求面與面所成銳二面角的余弦值.
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