15.證明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|.

分析 原不等式可等價(jià)為:arctana-a≤arctanb-b,只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=arctanx-x,再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

解答 證明:∵正切函數(shù)y=tanx在(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$)上單調(diào)遞增,
∴其反函數(shù)y=arctanx在R上也單調(diào)遞增,
不妨設(shè),a≥b,原不等式可化為:arctana-arctanb≤a-b,
因此,原不等式等價(jià)為:arctana-a≤arctanb-b,-----①
要證不等式①成立,只需構(gòu)造函數(shù),f(x)=arctanx-x,x∈R,
f'(x)=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立,
所以,f(x)在R上單調(diào)遞減,
由于a≥b,所以f(a)≤f(b),
即arctana-a≤arctanb-b,
所以,|arctana-arctanb|≤|a-b|.
說(shuō)明:本題也可以利用“拉格朗日中值定理”證明.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,涉及正切,反正切函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,以及函數(shù)單調(diào)性的確定,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1(a>1)的左、上頂點(diǎn)分別為A、B,橢圓C的左焦點(diǎn)為F,且△ABF的面積為$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$,則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.如圖,某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求這一天的最大溫差;
(2)寫(xiě)出這段曲線(xiàn)的函數(shù)解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°.設(shè)AD、PB、PC中點(diǎn)分別為E、F、G.
(Ⅰ)求證:PB⊥AD;
(Ⅱ)求證:EF∥平面PCD;
(Ⅲ)若PB=$\sqrt{6}$,求四面體G-BCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),|$\overrightarrow{AB}$|=4,|$\overrightarrow{AC}$|=3,則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{7}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

20.若函數(shù)f(x)=2|x|-1,則函數(shù)g(x)=f(f(x))+ex的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.用符號(hào)“>”、“>”、“=”填空:
${log}_{{5}^{3}}$<${log}_{{5}^{7}}$;
${log}_{{8}^{1}}$=${log}_{{7}^{1}}$;
${log}_{{\frac{1}{2}}^{5}}$<log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{5}$;
ln0.3<0;
${log}_{{0.1}^{2}}$<0;
lg$\frac{1}{3}$<lg10.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)在x∈[-π,π]上的單調(diào)減區(qū)間;
(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若方程g(x)=m在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及這兩個(gè)根的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016-2017學(xué)年河北冀州市高二理上月考三數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在底面是直角梯形的四棱錐中,,平面,,梯形上底

(1)求證:平面;

(2)求面與面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案