在直角坐標(biāo)系xoy中,圓O的方程為x2+y2=1.
(1)若直線l與圓O切于第一象限且與坐標(biāo)軸交于點A,B,當(dāng)|AB|最小時,求直線l的方程;
(2)若A,B是圓O與x軸的交點,C是圓在直徑AB的上方的任意一點,過該點作CD⊥AB交圓O于點D,當(dāng)點C在圓O上移動時,求證:∠OCD的角平分線經(jīng)過圓O上的一個定點,并求出該定點的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)出直線方程,利用直線與圓相切,建立方程,利用基本不等式求出|AB|的最小值,從而可求直線l的方程;
(2)設(shè)∠OCD的角平分線為CP,交圓于P,證明OP⊥AB,即可求得結(jié)論.
解答:(1)解:設(shè)直線l的方程為
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0)
,則
1
1
a2
+
1
b2
=1
,
1
a2
+
1
b2
=1
,∴ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2
時,取等號)
∴|AB|=
a2+b2
2ab
≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2
時,取等號)
即|AB|最小為2,此時直線l的方程為x+y-
2
=0;
(2)證明:設(shè)∠OCD的角平分線為CP,交圓于P,則∠OCP=∠DCP
因為OC、OP為圓的半徑,所以∠OCP=∠OPC,所以∠DCP=∠OPC
所以CD∥OP
因為CD⊥AB,A、B為定點,所以O(shè)P⊥AB
所以P為定點,坐標(biāo)為(0,-1)
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查基本不等式的運用,考查直線恒過定點,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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