（2013•昌平區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，那么（
AB
-
AC
）•
AD
=
2
2
；若E是AB的中點(diǎn)，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則
AD
•
EP
的取值范圍是
[-9，9]
[-9，9]
．
分析：由條件可得
AD
=
AB
+
AC
2
，故(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2-
AC
2
2
，由此求得(
AB
-
AC
)•
AD
的值．以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求得t=
AD
•
EP
的取值范圍．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，那么
AD
=
AB
+
AC
2
，
AB
2=
AC
2+
BC
2=16+4=20．
∴(
AB
-
AC
)•
AD
=(
AB
-
AC
)• 
AB
+
AC
2
=
AB
2-
AC
2
2
=
20-16
2
=2．
以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為（4，0），B的坐標(biāo)為（0，2），
由線段的中點(diǎn)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則由題意可得可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部區(qū)域，故有
x≥0
y≥0
x
4
+
y
2
≤1
．
令t=
AD
•
EP
=（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故當(dāng)直線y=4x+t-7過(guò)點(diǎn)A（4，0）時(shí)，t取得最小值為7-16+0=-9，
當(dāng)直線y=4x+t-7過(guò)點(diǎn)B（0，2）時(shí)，t取得最大值為 7-0+2=9，
故t=
AD
•
EP
的取值范圍是[-9，9]，
故答案為 2，[-9，9]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算，線段的中點(diǎn)公式，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）復(fù)數(shù)
2i
1-i
的虛部是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-a2x+
1
2
a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足以下條件；則以下不等式一定成立的是（　�。�
（1）對(duì)任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[1，a]，當(dāng)x2＞x1時(shí)，有f（x2）＞f（x1）．
①f（a）＞f（0）
②f（
1+a
2
）＞f（
a
）
③f（
1-3a
1+a
）＞f（-3）
④f（
1-3a
1+a
）＞f（-a）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．下表是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿(mǎn)足≥18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率；
（Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅲ）從上述樣品中，各隨機(jī)抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知橢圓M的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，離心率為
2
2
，且拋物線y2=4
2
x的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓M相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點(diǎn)P在橢圓M上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值．

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