Question

已知函數(shù)f（x）=sin²wx+

3

sinwx•coswx-1（w＞0）的周期為π．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）的函數(shù)解析式，根據(jù)已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）的取值范圍；
（2）由f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=sin²wx+

3

sinwx•coswx-1=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-1=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

∵w＞0，周期為π，即T=

2π

2ω

=π
∴可解得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，從而可求得f（x）的取值范圍為[-1，

1

2

]．
（2）∵令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．