Question

【題目】已知，．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)，請判斷：當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

【解析】

（1）不等式等價(jià)，設(shè)，計(jì)算其導(dǎo)函數(shù)的最值得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.

（2）計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)，討論，，，四種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分別計(jì)算零點(diǎn)得到答案.

（1）等價(jià)于證明．

令，則．

令，則，

由，得；由，得，

∴在遞減，在遞增，

∴，

∴在上恒成立．

∵在遞減，在遞增，∴，∴．

（2）點(diǎn)，點(diǎn)，，

∴．

①當(dāng)時(shí)，可知，即，又，，

∴，在單調(diào)遞減．又∵，．

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，

故，故，，

∴，∴恒成立，

∴在上無零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，∵，

∴，∴在上單調(diào)遞增．

又∵，，

∴在上存在一個(gè)零點(diǎn)．

④當(dāng)，∵，，∴恒成立，

∴在無零點(diǎn)．

綜上，在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．